आकृति में,$ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $A$ समकोण है। $BCED$,$ACFG$ और $ABMN$ क्रमशः भुजाओं $BC$,$CA$ और $AB$ पर बने वर्ग हैं। रेखाखंड $AX \perp DE$,$BC$ को $Y$ पर मिलता है। सिद्ध कीजिए कि: $\operatorname{ar}(CYXE) = \operatorname{ar}(ACFG)$.

(A) $\operatorname{ar}(CYXE) = \operatorname{ar}(ACFG)$ सिद्ध करने के लिए:
$1$. $\Delta ABD$ और $\Delta MBC$ पर विचार करें। हमारे पास $AB = MB$ (वर्ग $ABMN$ की भुजाएँ),$BD = BC$ (वर्ग $BCED$ की भुजाएँ),और $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = \angle ABC + 90^\circ = \angle ABC + \angle MBA = \angle MBC$ है।
$2$. $SAS$ सर्वांगसमता द्वारा,$\Delta ABD \cong \Delta MBC$.
$3$. चूंकि $\Delta ABD$ और वर्ग $ABMN$ एक ही आधार $AB$ पर और समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं,इसलिए $\operatorname{ar}(\Delta ABD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABMN)$.
$4$. इसी प्रकार,$\Delta MBC$ और आयत $BYXD$ एक ही आधार $BD$ पर और समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं,इसलिए $\operatorname{ar}(\Delta MBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BYXD)$.
$5$. चूंकि $\Delta ABD \cong \Delta MBC$,इसलिए उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। अतः,$\frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABMN) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BYXD)$,जिसका अर्थ है कि $\operatorname{ar}(ABMN) = \operatorname{ar}(BYXD)$.
$6$. इसी तर्क द्वारा,$\operatorname{ar}(ACFG) = \operatorname{ar}(CYXE)$.
$7$. अतः,$\operatorname{ar}(CYXE) = \operatorname{ar}(ACFG)$.