ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $P$ અને $Q$ છે અને $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે. સાબિત કરો કે $\operatorname{ar}(RQC) = \frac{3}{8} \operatorname{ar}(ABC)$.

(N/A) આપેલ છે: $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,$Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$1$. $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$CP$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા છે. તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$2$. $\Delta PBC$ માં,$PQ$ એ મધ્યગા છે (કારણ કે $Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે). તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta PBQ) = \operatorname{ar}(\Delta PQC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$3$. $\Delta APQ$ માં,$RQ$ એ મધ્યગા છે (કારણ કે $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે). તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta RQP) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta APQ)$.
$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\operatorname{ar}(\Delta APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta RQP) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$4$. આમ,$\operatorname{ar}(\Delta RQC) = \operatorname{ar}(\Delta RQP) + \operatorname{ar}(\Delta PQC) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC) + \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1+2}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{3}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.