Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Medium$P$ और $Q$ क्रमशः त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं और $R$,$AP$ का मध्य-बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि $\text{ar} (PBQ) = \text{ar} (ARC)$.
(N/A) दिया है: $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$Q$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,और $R$,$AP$ का मध्य-बिंदु है।
$1$. $\Delta ABC$ में,$AQ$ एक माध्यिका है (चूंकि $Q$,$BC$ का मध्य-बिंदु है)। इसलिए,$\text{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \text{ar}(\Delta ABC)$।
$2$. $\Delta ABQ$ में,$PQ$ एक माध्यिका है (चूंकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है)। इसलिए,$\text{ar}(\Delta PBQ) = \frac{1}{2} \text{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \text{ar}(\Delta ABC)) = \frac{1}{4} \text{ar}(\Delta ABC)$।
$3$. $\Delta APC$ में,$CR$ एक माध्यिका है। अतः,$\text{ar}(\Delta ARC) = \frac{1}{2} \text{ar}(\Delta APC)$।
$4$. चूंकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$\text{ar}(\Delta APC) = \frac{1}{2} \text{ar}(\Delta ABC)$।
$5$. इसलिए,$\text{ar}(\Delta ARC) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \text{ar}(\Delta ABC)) = \frac{1}{4} \text{ar}(\Delta ABC)$।
अतः,$\text{ar}(\Delta PBQ) = \text{ar}(\Delta ARC) = \frac{1}{4} \text{ar}(\Delta ABC)$।
$1$. $\Delta ABC$ में,$AQ$ एक माध्यिका है (चूंकि $Q$,$BC$ का मध्य-बिंदु है)। इसलिए,$\text{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \text{ar}(\Delta ABC)$।
$2$. $\Delta ABQ$ में,$PQ$ एक माध्यिका है (चूंकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है)। इसलिए,$\text{ar}(\Delta PBQ) = \frac{1}{2} \text{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \text{ar}(\Delta ABC)) = \frac{1}{4} \text{ar}(\Delta ABC)$।
$3$. $\Delta APC$ में,$CR$ एक माध्यिका है। अतः,$\text{ar}(\Delta ARC) = \frac{1}{2} \text{ar}(\Delta APC)$।
$4$. चूंकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$\text{ar}(\Delta APC) = \frac{1}{2} \text{ar}(\Delta ABC)$।
$5$. इसलिए,$\text{ar}(\Delta ARC) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \text{ar}(\Delta ABC)) = \frac{1}{4} \text{ar}(\Delta ABC)$।
अतः,$\text{ar}(\Delta PBQ) = \text{ar}(\Delta ARC) = \frac{1}{4} \text{ar}(\Delta ABC)$।
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