$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और $BC$ को एक बिंदु $Q$ तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि $AD = CQ$ है। यदि $AQ$,$DC$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो दर्शाइए कि $\operatorname{ar}(BPC) = \operatorname{ar}(DPQ)$ है।

(A) दिया है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$AD = CQ$,और $AQ$,$DC$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करता है।
चरण $1$: चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$AD \parallel BC$ और $AD = BC$ है। दिया है $AD = CQ$,इसलिए $BC = CQ$ है।
चरण $2$: $\triangle ADQ$ और $\triangle ADC$ पर विचार करें। चूँकि $AD \parallel QC$,इसलिए $\operatorname{ar}(ADQ) = \operatorname{ar}(ADC)$ है क्योंकि वे एक ही आधार $AD$ पर और समांतर रेखाओं $AD$ और $QC$ के बीच स्थित हैं।
चरण $3$: दोनों पक्षों से $\operatorname{ar}(ADP)$ घटाने पर:
$\operatorname{ar}(ADQ) - \operatorname{ar}(ADP) = \operatorname{ar}(ADC) - \operatorname{ar}(ADP)$
$\operatorname{ar}(DPQ) = \operatorname{ar}(APC) .....(1)$
चरण $4$: अब,$\triangle APC$ और $\triangle BPC$ पर विचार करें। वे एक ही आधार $PC$ पर और समांतर रेखाओं $AB$ और $DC$ के बीच स्थित हैं (चूँकि $AB \parallel DC$ है)।
इसलिए,$\operatorname{ar}(APC) = \operatorname{ar}(BPC) .....(2)$
चरण $5$: $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(BPC) = \operatorname{ar}(DPQ)$.