Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesMix Examples - Areas of Parallelograms and Triangles
Difficultयदि एक चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम में जोड़ा जाए,तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दिए गए चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होगा।
(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें भुजाओं $AB, BC, CD,$ और $DA$ के मध्य-बिंदु क्रमशः $P, Q, R,$ और $S$ हैं,जिन्हें क्रम में जोड़ने पर चतुर्भुज $PQRS$ बनता है।
सिद्ध करना है: $\text{ar}(PQRS) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$.
रचना: $AC$ और $BD$ को मिलाइए।
उपपत्ति: $\triangle ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$.
इसी प्रकार,$\triangle ADC$ में,$S$ और $R$ क्रमशः $AD$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$.
चूंकि $PQ \parallel AC$ और $SR \parallel AC$,इसलिए $PQ \parallel SR$.
साथ ही,$PQ = SR = \frac{1}{2} AC$. अतः,$PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,चारों कोनों पर बने त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग करने पर: $\text{ar}(\triangle APS) + \text{ar}(\triangle BPQ) + \text{ar}(\triangle CRQ) + \text{ar}(\triangle DSR) = \frac{1}{4} \text{ar}(ABCD)$.
इसलिए,$\text{ar}(PQRS) = \text{ar}(ABCD) - \frac{1}{4} \text{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$.
इति सिद्धम्।
सिद्ध करना है: $\text{ar}(PQRS) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$.
रचना: $AC$ और $BD$ को मिलाइए।
उपपत्ति: $\triangle ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$.
इसी प्रकार,$\triangle ADC$ में,$S$ और $R$ क्रमशः $AD$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$.
चूंकि $PQ \parallel AC$ और $SR \parallel AC$,इसलिए $PQ \parallel SR$.
साथ ही,$PQ = SR = \frac{1}{2} AC$. अतः,$PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,चारों कोनों पर बने त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग करने पर: $\text{ar}(\triangle APS) + \text{ar}(\triangle BPQ) + \text{ar}(\triangle CRQ) + \text{ar}(\triangle DSR) = \frac{1}{4} \text{ar}(ABCD)$.
इसलिए,$\text{ar}(PQRS) = \text{ar}(ABCD) - \frac{1}{4} \text{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$.
इति सिद्धम्।
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