यदि $\Delta ABC$ की माध्यिकाएँ $G$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{ar}(AGB) = \operatorname{ar}(AGC) = \operatorname{ar}(BGC) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(ABC)$।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ की माध्यिकाएँ $AE, BF$ और $CD$ बिंदु $G$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है: $\operatorname{ar}(\triangle AGB) = \operatorname{ar}(\triangle AGC) = \operatorname{ar}(\triangle BGC) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$।
रचना: $BP \perp AE$ खींचिए।
उपपत्ति: $AG = \frac{2}{3} AE$ [क्योंकि केंद्रक माध्यिका को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है]।
अब,$\operatorname{ar}(\triangle AGB) = \frac{1}{2} \times AG \times BP$
$= \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} AE \times BP$
$= \frac{2}{3} \times (\frac{1}{2} \times AE \times BP)$
$= \frac{2}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABE)$
$= \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$ [क्योंकि माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है]
$= \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$।
इसी प्रकार,$\operatorname{ar}(\triangle AGC) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$ और $\operatorname{ar}(\triangle BGC) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$।
अतः,$\operatorname{ar}(\triangle AGB) = \operatorname{ar}(\triangle AGC) = \operatorname{ar}(\triangle BGC) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$।
इति सिद्धम्।