જો ચતુષ્કોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને ક્રમમાં જોડવામાં આવે,તો સાબિત કરો કે આ રીતે બનેલા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ આપેલા ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ કરતાં અડધું હોય છે.

(N/A) આપેલ છે: એક ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં બાજુઓ $AB, BC, CD,$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $P, Q, R,$ અને $S$ છે,જેમને ક્રમમાં જોડતા ચતુષ્કોણ $PQRS$ બને છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\text{ar}(PQRS) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$.
રચના: $AC$ અને $BD$ ને જોડો.
સાબિતી: $\triangle ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$.
તે જ રીતે,$\triangle ADC$ માં,$S$ અને $R$ એ અનુક્રમે $AD$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$.
ચૂંક $PQ \parallel AC$ અને $SR \parallel AC$,તેથી $PQ \parallel SR$.
વળી,$PQ = SR = \frac{1}{2} AC$. આમ,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,ચારેય ખૂણા પરના ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કરતા: $\text{ar}(\triangle APS) + \text{ar}(\triangle BPQ) + \text{ar}(\triangle CRQ) + \text{ar}(\triangle DSR) = \frac{1}{4} \text{ar}(ABCD)$.
તેથી,$\text{ar}(PQRS) = \text{ar}(ABCD) - \frac{1}{4} \text{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$.
આમ,સાબિત થાય છે.