Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesMix Examples - Areas of Parallelograms and Triangles
Difficultएक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की भुजा $BC$ पर एक बिंदु $E$ लिया गया है। $AE$ और $DC$ को बढ़ाने पर वे $F$ पर मिलते हैं। सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{ar}(\triangle ADF) = \operatorname{ar}(ABFC)$ है।
(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। भुजा $BC$ पर एक बिंदु $E$ लिया गया है। $AE$ और $DC$ को बढ़ाने पर वे $F$ पर मिलते हैं।
उपपत्ति: चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और विकर्ण $AC$ इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है,इसलिए हमारे पास है:
$\operatorname{ar}(\triangle ADC) = \operatorname{ar}(\triangle ABC) \quad ....(1)$
चूंकि $DC \parallel AB$,इसलिए $CF \parallel AB$ है।
एक ही आधार $CF$ पर और एक ही समांतर रेखाओं $AB$ और $DF$ के बीच स्थित त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\operatorname{ar}(\triangle ACF) = \operatorname{ar}(\triangle BCF) \quad ....(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(\triangle ADC) + \operatorname{ar}(\triangle ACF) = \operatorname{ar}(\triangle ABC) + \operatorname{ar}(\triangle BCF)$
$\Rightarrow \operatorname{ar}(\triangle ADF) = \operatorname{ar}(ABFC)$
अतः,सिद्ध हुआ।
उपपत्ति: चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और विकर्ण $AC$ इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है,इसलिए हमारे पास है:
$\operatorname{ar}(\triangle ADC) = \operatorname{ar}(\triangle ABC) \quad ....(1)$
चूंकि $DC \parallel AB$,इसलिए $CF \parallel AB$ है।
एक ही आधार $CF$ पर और एक ही समांतर रेखाओं $AB$ और $DF$ के बीच स्थित त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\operatorname{ar}(\triangle ACF) = \operatorname{ar}(\triangle BCF) \quad ....(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(\triangle ADC) + \operatorname{ar}(\triangle ACF) = \operatorname{ar}(\triangle ABC) + \operatorname{ar}(\triangle BCF)$
$\Rightarrow \operatorname{ar}(\triangle ADF) = \operatorname{ar}(ABFC)$
अतः,सिद्ध हुआ।
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