Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesMix Examples - Areas of Parallelograms and Triangles
Difficult$ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel DC$,$DC = 30 \, cm$ और $AB = 50 \, cm$ है। यदि $X$ और $Y$ क्रमशः $AD$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{ar}(DCYX) = \frac{7}{9} \operatorname{ar}(XYBA)$।
(N/A) $\Delta MBY$ और $\Delta DCY$ में,हमारे पास है:
$\angle 1 = \angle 2$ [शीर्षाभिमुख कोण]
$\angle 3 = \angle 4$ [चूंकि $AB \parallel DC$ और एकांतर अंतःकोण बराबर हैं]
$BY = CY$ [चूंकि $Y$,$BC$ का मध्य-बिंदु है]
अतः,$\Delta MBY \cong \Delta DCY$ [$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इसलिए,$MB = DC = 30 \, cm$ [$CPCT$]
अब,$AM = AB + BM = 50 \, cm + 30 \, cm = 80 \, cm$
$\Delta ADM$ में,मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा,$XY = \frac{1}{2} AM = \frac{1}{2} \times 80 \, cm = 40 \, cm$
चूंकि $AB \parallel XY \parallel DC$ और $X$ तथा $Y$,$AD$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए समलंब चतुर्भुज $DCXY$ और $XYBA$ की ऊँचाई समान है। माना समान ऊँचाई $h \, cm$ है।
$\frac{\operatorname{ar}(DCXY)}{\operatorname{ar}(XYBA)} = \frac{\frac{1}{2}(DC + XY) \times h}{\frac{1}{2}(XY + AB) \times h} = \frac{30 + 40}{40 + 50} = \frac{70}{90} = \frac{7}{9}$
अतः,$\operatorname{ar}(DCXY) = \frac{7}{9} \operatorname{ar}(XYBA)$।
$\angle 1 = \angle 2$ [शीर्षाभिमुख कोण]
$\angle 3 = \angle 4$ [चूंकि $AB \parallel DC$ और एकांतर अंतःकोण बराबर हैं]
$BY = CY$ [चूंकि $Y$,$BC$ का मध्य-बिंदु है]
अतः,$\Delta MBY \cong \Delta DCY$ [$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इसलिए,$MB = DC = 30 \, cm$ [$CPCT$]
अब,$AM = AB + BM = 50 \, cm + 30 \, cm = 80 \, cm$
$\Delta ADM$ में,मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा,$XY = \frac{1}{2} AM = \frac{1}{2} \times 80 \, cm = 40 \, cm$
चूंकि $AB \parallel XY \parallel DC$ और $X$ तथा $Y$,$AD$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए समलंब चतुर्भुज $DCXY$ और $XYBA$ की ऊँचाई समान है। माना समान ऊँचाई $h \, cm$ है।
$\frac{\operatorname{ar}(DCXY)}{\operatorname{ar}(XYBA)} = \frac{\frac{1}{2}(DC + XY) \times h}{\frac{1}{2}(XY + AB) \times h} = \frac{30 + 40}{40 + 50} = \frac{70}{90} = \frac{7}{9}$
अतः,$\operatorname{ar}(DCXY) = \frac{7}{9} \operatorname{ar}(XYBA)$।
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