$AC$ અને $BD$ એક વર્તુળની જીવાઓ છે જે એકબીજાને દુભાગે છે. સાબિત કરો કે $AC$ અને $BD$ વ્યાસ છે.

(N/A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર કોઈ બિંદુ $P$ પર છે. જોકે,પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે જીવાઓ $AC$ અને $BD$ એકબીજાને બિંદુ $O$ પર દુભાગે છે.
$\Delta AOB$ અને $\Delta COD$ માં:
$AO = OC$ (આપેલ છે,કારણ કે $O$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$BO = OD$ (આપેલ છે,કારણ કે $O$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$\angle AOB = \angle COD$ (અભિકોણો)
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AOB \cong \Delta COD$.
તેથી,$AB = CD$ (એકરૂપ ત્રિકોણોના અનુરૂપ અંગો).
$AB = CD$ હોવાથી,આ જીવાઓને અનુરૂપ ચાપ સમાન છે: $\text{ચાપ } AB = \text{ચાપ } CD$.
તે જ રીતે,$SAS$ એકરૂપતા દ્વારા $\Delta AOD \cong \Delta COB$,જે સૂચવે છે કે $AD = CB$,તેથી $\text{ચાપ } AD = \text{ચાપ } BC$.
હવે,ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને ધ્યાનમાં લો. વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને દુભાગતા હોવાથી,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
વર્તુળમાં અંતર્ગત સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે ($\angle A = \angle C$ અને $\angle B = \angle D$). ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $2\angle A = 180^{\circ}$,તેથી $\angle A = 90^{\circ}$.
$\angle A = 90^{\circ}$ હોવાથી,જીવા $BD$ પરિઘ પર કાટખૂણો આંતરે છે,જેનો અર્થ છે કે $BD$ વ્યાસ હોવો જોઈએ. તેવી જ રીતે,$AC$ પણ વ્યાસ છે.