$ABCD$ સમલંબ ચતુષ્કોણમાં $AB \parallel DC$ છે અને તેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે. $O$ માંથી પસાર થતી અને $AB$ ને સમાંતર રેખાખંડ $PQ$ દોરવામાં આવ્યો છે,જે $AD$ ને $P$ માં અને $BC$ ને $Q$ માં મળે છે. સાબિત કરો કે $PO = QO$.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AB \parallel DC$ છે. વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે. $PQ \parallel AB \parallel DC$.
સાબિત કરવાનું છે: $PO = QO$.
સાબિતી: $\triangle ADC$ માં,$PO \parallel DC$ (કારણ કે $PQ \parallel DC$).
પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સનું પ્રમેય) મુજબ:
$\frac{AP}{PD} = \frac{AO}{OC}$ ........$(i)$
$\triangle ABC$ માં,$OQ \parallel AB$.
પ્રમેય $6.1$ મુજબ:
$\frac{BQ}{QC} = \frac{AO}{OC}$ ........$(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{AP}{PD} = \frac{BQ}{QC}$
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા:
$\frac{AP}{PD} + 1 = \frac{BQ}{QC} + 1$
$\frac{AP + PD}{PD} = \frac{BQ + QC}{QC}$
$\frac{AD}{PD} = \frac{BC}{QC}$
$\Rightarrow \frac{PD}{AD} = \frac{QC}{BC}$ ........$(iii)$
હવે,$\triangle ABD$ માં,$PO \parallel AB$. તેથી,$\triangle POD \sim \triangle ABD$ ($AA$ સમરૂપતા).
તેથી,$\frac{PO}{AB} = \frac{PD}{AD}$ ........$(iv)$
$\triangle ABC$ માં,$OQ \parallel AB$. તેથી,$\triangle OQC \sim \triangle ABC$ ($AA$ સમરૂપતા).
તેથી,$\frac{OQ}{AB} = \frac{QC}{BC}$ ........$(v)$
$(iii)$,$(iv)$ અને $(v)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{PO}{AB} = \frac{OQ}{AB}$
$\Rightarrow PO = OQ$. આમ સાબિત થાય છે.