$P$ અને $Q$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. $AQ$ એ $DP$ ને $S$ માં છેદે છે અને $BQ$ એ $CP$ ને $R$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $PRQS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $P$ અને $Q$ અનુક્રમે બાજુઓ $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. $AQ$ એ $DP$ ને $S$ માં છેદે છે અને $BQ$ એ $CP$ ને $R$ માં છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PRQS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સાબિતી: $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$DC \parallel AB$ અને $DC = AB$ થાય.
$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $AP = \frac{1}{2} AB$ અને $QC = \frac{1}{2} CD$ થાય.
$AB = CD$ હોવાથી,$AP = QC$ થાય.
વળી,$AB \parallel DC$ હોવાથી $AP \parallel QC$ થાય.
ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ ($AP$ અને $QC$) સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$APCQ$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$AQ \parallel PC$,જેનો અર્થ છે કે $SQ \parallel PR$.
તે જ રીતે,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $APQD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે ($AP \parallel DQ$ અને $AP = DQ$ હોવાથી),જેનો અર્થ છે કે $AQ \parallel DP$. તેમજ,$PBCQ$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે ($PB \parallel QC$ અને $PB = QC$ હોવાથી),જેનો અર્થ છે કે $BQ \parallel CP$.
ચતુષ્કોણ $PRQS$ માં,$SQ \parallel PR$ ($AQ \parallel PC$ પરથી) અને $SP \parallel QR$ ($DP \parallel BQ$ પરથી) છે.
બંને સામસામેની બાજુઓની જોડ સમાંતર હોવાથી,$PRQS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.