$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और $P$ भुजा $CD$ का मध्य-बिंदु है। $C$ से होकर जाने वाली और $PA$ के समांतर एक रेखा $AB$ को $Q$ पर और $DA$ को बढ़ाने पर $R$ पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि $DA = AR$ और $CQ = QR$ है।

(N/A) $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। $P$,$CD$ का मध्य-बिंदु है। $C$ से होकर जाने वाली और $PA$ के समांतर रेखा $AB$ को $Q$ पर और $DA$ को बढ़ाने पर $R$ पर प्रतिच्छेद करती है।
$\Delta DCR$ में,$P$,$CD$ का मध्य-बिंदु है और $AP \parallel CR$ है (क्योंकि $AP \parallel CQ$ और $Q$,$CR$ पर स्थित है)।
अतः,मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम द्वारा,$A$,$DR$ का मध्य-बिंदु है,जिसका अर्थ है कि $DA = AR$ है।
अब,$\Delta ARQ$ और $\Delta BCQ$ पर विचार करें:
$1$. $AR = BC$ (क्योंकि ऊपर सिद्ध किया गया है कि $AD = AR$ है,और समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ होने के कारण $AD = BC$ है)।
$2$. $\angle 1 = \angle 2$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$3$. $\angle 3 = \angle 4$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel DC$ और $RC$ एक तिर्यक रेखा है)।
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta ARQ \cong \Delta BCQ$ है।
इस प्रकार,$CPCT$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) द्वारा $CQ = QR$ है।
अतः,$DA = AR$ और $CQ = QR$ सिद्ध हुआ।