$D, E$ और $F$ क्रमशः $\Delta ABC$ की भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं। सिद्ध कीजिए कि:
$(i)$ $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$(ii)$ $ar(DEF) = \frac{1}{4} ar(ABC)$
$(iii)$ $ar(BDEF) = \frac{1}{2} ar(ABC)$

(N/A) $\Delta ABC$ में,$F$ और $E$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$FE \parallel BC$ और $FE = \frac{1}{2} BC$ है।
चूंकि $D, BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = \frac{1}{2} BC$ है।
अतः,$FE \parallel BD$ और $FE = BD$ है।
चूंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए चतुर्भुज $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है। (परिणाम $i$)
इसी प्रकार,चतुर्भुज $AFDE$ और $FDCE$ भी समांतर चतुर्भुज हैं।
समांतर चतुर्भुज $BDEF$ में,$FD$ एक विकर्ण है,इसलिए $ar(BDF) = ar(DEF)$। $(1)$
समांतर चतुर्भुज $AFDE$ में,$EF$ एक विकर्ण है,इसलिए $ar(AFE) = ar(DEF)$। $(2)$
समांतर चतुर्भुज $FDCE$ में,$ED$ एक विकर्ण है,इसलिए $ar(DCE) = ar(DEF)$। $(3)$
$\Delta ABC$ चार गैर-अतिव्यापी त्रिभुजों से बना है: $\Delta BDF, \Delta AFE, \Delta DCE$ और $\Delta DEF$।
$ar(ABC) = ar(BDF) + ar(AFE) + ar(DCE) + ar(DEF)$
$(1), (2)$ और $(3)$ का उपयोग करने पर:
$ar(ABC) = ar(DEF) + ar(DEF) + ar(DEF) + ar(DEF) = 4 ar(DEF)$
अतः,$ar(DEF) = \frac{1}{4} ar(ABC)$। (परिणाम $ii$)
अब,$ar(BDEF) = ar(BDF) + ar(DEF) = ar(DEF) + ar(DEF) = 2 ar(DEF)$।
$ar(DEF) = \frac{1}{4} ar(ABC)$ रखने पर:
$ar(BDEF) = 2 \times \frac{1}{4} ar(ABC) = \frac{1}{2} ar(ABC)$। (परिणाम $iii$)