त्रिभुज $ABC$ की माध्यिकाएँ $BE$ और $CF$ बिंदु $G$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि $\triangle GBC$ का क्षेत्रफल = चतुर्भुज $AFGE$ का क्षेत्रफल।

(N/A) माना $BE$ और $CF$ त्रिभुज $ABC$ की माध्यिकाएँ हैं जो $G$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। हमें सिद्ध करना है कि $\operatorname{ar}(\triangle GBC) = \operatorname{ar}(AFGE)$।
चूँकि माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है,माध्यिका $CF$ के लिए:
$\operatorname{ar}(\triangle BCF) = \operatorname{ar}(\triangle ACF)$
$\operatorname{ar}(\triangle GBF) + \operatorname{ar}(\triangle GBC) = \operatorname{ar}(AFGE) + \operatorname{ar}(\triangle GCE) \quad \dots(1)$
इसी प्रकार,माध्यिका $BE$ के लिए:
$\operatorname{ar}(\triangle ABE) = \operatorname{ar}(\triangle CBE)$
$\operatorname{ar}(\triangle AFG) + \operatorname{ar}(\triangle BFG) = \operatorname{ar}(\triangle GCE) + \operatorname{ar}(\triangle GBC) \quad \dots(2)$
हम जानते हैं कि केंद्रक $G$ त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले तीन त्रिभुजों में विभाजित करता है: $\operatorname{ar}(\triangle GBC) = \operatorname{ar}(\triangle GCA) = \operatorname{ar}(\triangle GAB) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$।
चूँकि $F$ और $E$ मध्य बिंदु हैं,$\operatorname{ar}(\triangle GAF) = \operatorname{ar}(\triangle GAE) = \frac{1}{6} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$।
अतः,$\operatorname{ar}(AFGE) = \operatorname{ar}(\triangle GAF) + \operatorname{ar}(\triangle GAE) = \frac{1}{6} \operatorname{ar}(\triangle ABC) + \frac{1}{6} \operatorname{ar}(\triangle ABC) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$।
इस प्रकार,$\operatorname{ar}(\triangle GBC) = \operatorname{ar}(AFGE)$ सिद्ध होता है।