$(a)$ सिद्ध कीजिए कि $10$ के साथ सापेक्ष अभाज्य प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,एक ऐसी प्राकृतिक संख्या $m$ मौजूद है जिसके सभी अंक $1$ हैं और $n$,$m$ को विभाजित करता है।
$(b)$ इसके आधार पर या अन्यथा सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक धनात्मक परिमेय संख्या को कुछ प्राकृतिक संख्याओं $a, b, c$ के लिए $\frac{a}{10^b(10^c-1)}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

(D) मान लीजिए $n$ एक ऐसी प्राकृतिक संख्या है कि $\gcd(n, 10) = 1$ है। $n+1$ संख्याओं की श्रृंखला $m_k = \frac{10^k-1}{9}$ पर विचार करें,जहाँ $k = 1, 2, \dots, n+1$ है। पिजनहोल सिद्धांत (Pigeonhole Principle) के अनुसार,इनमें से कम से कम दो संख्याएँ,मान लीजिए $m_i$ और $m_j$ $(i < j)$,को $n$ से विभाजित करने पर समान शेषफल प्राप्त होगा। अतः,$n$,$m_j - m_i = 11\dots100\dots0 = 11\dots1 \times 10^i$ को विभाजित करता है। चूँकि $\gcd(n, 10) = 1$ है,इसलिए $\gcd(n, 10^i) = 1$ होगा,अतः $n$ को $m_{j-i}$ को विभाजित करना होगा,जिसमें केवल $1$ अंक हैं।
$(b)$ मान लीजिए परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ है। हम $q = 2^r \cdot 5^s \cdot t$ लिख सकते हैं,जहाँ $\gcd(t, 10) = 1$ है। भाग $(a)$ से,$1$ अंकों वाली एक ऐसी संख्या $m$ मौजूद है कि $t \mid m$ है। मान लीजिए $m = \frac{10^c-1}{9}$ है। तो $9m = 10^c-1$ है। चूँकि $t \mid m$ है,इसलिए $t \mid (10^c-1)$ है। मान लीजिए $10^c-1 = kt$ है। हम $b = \max(r, s)$ चुन सकते हैं। तो $10^b$,$2^r$ और $5^s$ से विभाज्य है। इस प्रकार,$10^b(10^c-1)$,$2^r \cdot 5^s \cdot t = q$ से विभाज्य है। अतः,$\frac{p}{q} = \frac{p \cdot \frac{10^b(10^c-1)}{q}}{10^b(10^c-1)} = \frac{a}{10^b(10^c-1)}$ किसी पूर्णांक $a$ के लिए।