R त्रिज्या और M द्रव्यमान का एक चालक ठोस गोला | vedclass

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Question

(A) घूर्णन अक्ष के साथ $	heta$ कोण पर गोले के एक पतले वलय (ring) तत्व पर विचार करें,जिसकी चौड़ाई $R d	heta$ और त्रिज्या $r = R \sin 	heta$ है।पृष्ठ

Vedclass · Accepted Answer

$(1.66$ से $1.67)$

Vedclass · Answer

(A) घूर्णन अक्ष के साथ $	heta$ कोण पर गोले के एक पतले वलय (ring) तत्व पर विचार करें,जिसकी चौड़ाई $R d	heta$ और त्रिज्या $r = R \sin 	heta$ है।पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma = \frac{Q}{4 \pi R^2}$ है।इस वलय पर आवेश $dq = \sigma (2 \pi r) (R d	heta) = \sigma (2 \pi R \sin 	heta) (R d	heta) = 2 \pi \sigma R^2 \sin 	heta d	heta$ है।इस घूमते हुए वलय द्वारा उत्पन्न धारा $dI = \frac{dq}{T} = \frac{dq \omega}{2 \pi} = \sigma R^2 \omega \sin 	heta d	heta$ है।इस वलय का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $d\mu = dI \cdot A = (\sigma R^2 \omega \sin 	heta d	heta) (\pi r^2) = \sigma R^2 \omega \sin 	heta d	heta (\pi R^2 \sin^2 	heta) = \pi \sigma R^4 \omega \sin^3 	heta d	heta$ है।कुल चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\mu = \int_0^{\pi} \pi \sigma R^4 \omega \sin^3 	heta d	heta = \pi \sigma R^4 \omega \int_0^{\pi} \sin^3 	heta d	heta$ है।$\int_0^{\pi} \sin^3 	heta d	heta = \frac{4}{3}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\mu = \pi \left( \frac{Q}{4 \pi R^2} ight) R^4 \omega \left( \frac{4}{3} ight) = \frac{Q R^2 \omega}{3}$ प्राप्त होता है।ठोस गोले का कोणीय संवेग $L = I \omega = (\frac{2}{5} M R^2) \omega$ है।अनुपात $\frac{\mu}{L} = \frac{Q R^2 \omega / 3}{(2/5) M R^2 \omega} = \frac{Q}{2M} \left( \frac{5}{3} ight)$ है।अतः,$\alpha = \frac{5}{3} \approx 1.67$।

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