int_0^1 frac{1}{2+sqrt{x}} , dx = | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^1 \frac{1}{2+\sqrt{x}} \, dx$. $\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापन करने पर,$x = t^2$ और $dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तब $t

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$2 \log \left(\frac{4 e}{9}\right)$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_0^1 \frac{1}{2+\sqrt{x}} \, dx$. $\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापन करने पर,$x = t^2$ और $dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तब $t = 0$ और जब $x = 1$,तब $t = 1$। अतः,$I = \int_0^1 \frac{2t}{2+t} \, dt$. $I = 2 \int_0^1 \frac{t+2-2}{t+2} \, dt = 2 \int_0^1 \left(1 - \frac{2}{t+2}\right) \, dt$. $I = 2 [t - 2 \log |t+2|]_0^1$. $I = 2 [(1 - 2 \log 3) - (0 - 2 \log 2)]$. $I = 2 [1 - 2 \log 3 + 2 \log 2] = 2 [1 + 2 \log(2/3)]$. $I = 2 [\log e + \log(4/9)] = 2 \log(4e/9)$. अतः,सही विकल्प $B$ है।

$\int_0^1 \frac{1}{2+\sqrt{x}} \, dx =$

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