int_0^1 x(1-x)^n dx = | vedclass

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Question

(B) गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है: $\int_0^1 x(1-x)^n dx = \int_0^1 (1-x)(1-(1-x))^n dx$ $= \

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$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

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(B) गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है: $\int_0^1 x(1-x)^n dx = \int_0^1 (1-x)(1-(1-x))^n dx$ $= \int_0^1 (1-x)x^n dx$ $= \int_0^1 (x^n - x^{n+1}) dx$ $= \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{x^{n+2}}{n+2} \right]_0^1$ $= \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) - (0 - 0)$ $= \frac{(n+2) - (n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$

$\int_0^1 x(1-x)^n dx =$

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$\int_{-1}^{3} \left( \tan^{-1} \left( \frac{x}{x^2+1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{x^2+1}{x} \right) \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(t) = \int_0^\pi \frac{2x \, dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$,जहाँ $0 < t < \pi$,तो $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi^2 \, dt}{f(t)}$ का मान .......... है।

समाकल $\int_{-1}^{1} \left\{ \frac{x^{2013}}{e^{|x|}(x^{2}+\cos x)} + \frac{1}{e^{|x|}} \right\} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन $\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \left( \frac{32 \cos^4 x}{1 + e^{\sin x}} \right) dx$ का मान है:

$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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