int log x cdot [log (ex)]^{-2} dx = . . . . . | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \log x \cdot [\log (ex)]^{-2} dx$ चूंकि $\log(ex) = \log e + \log x = 1 + \log x$,इसलिए समाकलन इस प्रकार हो जाता है: $I = \int \fra

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$\frac{x}{1 + \log x} + c$

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(A) माना $I = \int \log x \cdot [\log (ex)]^{-2} dx$ चूंकि $\log(ex) = \log e + \log x = 1 + \log x$,इसलिए समाकलन इस प्रकार हो जाता है: $I = \int \frac{\log x}{(1 + \log x)^{2}} dx$ $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $x = e^{t}$ और $dx = e^{t} dt$। $I = \int \frac{t}{(1 + t)^{2}} e^{t} dt$ अंश को $(t + 1 - 1)$ के रूप में लिखने पर: $I = \int e^{t} \left( \frac{t + 1 - 1}{(1 + t)^{2}} \right) dt$ $I = \int e^{t} \left( \frac{1}{1 + t} - \frac{1}{(1 + t)^{2}} \right) dt$ मानक समाकलन सूत्र $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = \frac{1}{1 + t}$ और $f'(t) = -\frac{1}{(1 + t)^{2}}$ है: $I = e^{t} \cdot \frac{1}{1 + t} + C$ $t = \log x$ और $e^{t} = x$ वापस रखने पर: $I = \frac{x}{1 + \log x} + C$

$\int \log x \cdot [\log (ex)]^{-2} dx = . . . . . .$

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$\int \frac{(\log x-1)^2}{\left[1+(\log x)^2\right]^2} d x=$ (जहाँ $C$ समाकलन का स्थिरांक है।)

यदि $\int {\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + 1}}{e^{{{\cot }^{ - 1}}x}}dx = A(x) {e^{{{\cot }^{ - 1}}x}} + C}$ है,तो $A(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int \left\{ \cos^{-1} x - (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \right\} k \, dx = k \cdot \cos^{-1} x + c$ है,तो $k = $ . . . . . . .

फलन का समाकलन कीजिए: $e^{x} \left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right)$

ज्ञात कीजिए : $\int \frac{(x^{2}+1) e^{x}}{(x+1)^{2}} d x$

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