फलन का समाकलन कीजिए: $e^{x} \left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right)$

हमें समाकलन $I = \int e^{x} \left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right) dx$ का मान ज्ञात करना है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$1+\sin x = \sin^{2} \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^{2}$ और $1+\cos x = 2 \cos^{2} \frac{x}{2}$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int e^{x} \left( \frac{(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^{2}}{2 \cos^{2} \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^{x} \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} + 1 \right)^{2} dx$
$I = \frac{1}{2} \int e^{x} (\tan \frac{x}{2} + 1)^{2} dx$
$I = \frac{1}{2} \int e^{x} (\tan^{2} \frac{x}{2} + 1 + 2 \tan \frac{x}{2}) dx$
चूंकि $\tan^{2} \frac{x}{2} + 1 = \sec^{2} \frac{x}{2}$,इसलिए:
$I = \int e^{x} (\frac{1}{2} \sec^{2} \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2}) dx$
मान लीजिए $f(x) = \tan \frac{x}{2}$. तब $f'(x) = \frac{1}{2} \sec^{2} \frac{x}{2}$ है।
मानक समाकलन सूत्र $\int e^{x} (f(x) + f'(x)) dx = e^{x} f(x) + C$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = e^{x} \tan \frac{x}{2} + C$.