$\sum\limits_{k = 0}^{10} {^{20}{C_k} = }$

$\sum_{r=1}^{15} r^2 \left( \frac{{}^{15}C_r}{{}^{15}C_{r-1}} \right) = $

योग $\left({ }^{n} C_{1}\right)^{2}+\left({ }^{n} C_{2}\right)^{2}+\left({ }^{n} C_{3}\right)^{2}+\ldots+\left({ }^{n} C_{n}\right)^{2}$ का मान है

मान लीजिए $(1+2x)^{20} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{20}x^{20}$ है। तो $3a_0 + 2a_1 + 3a_2 + 2a_3 + 3a_4 + 2a_5 + \dots + 2a_{19} + 3a_{20}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(3x-1)^{15}$ के विस्तार में $x^r$ (जहाँ $r=0, 1, 2, \ldots, 15$) के गुणांकों का योग निम्नलिखित में से किस विस्तार के द्विपद गुणांकों के योग के बराबर है?
$(a)\ (1+x)^{15}$
$(b)\ (1+x)^{16}+(1-x)^{16}$
$(c)\ (1+x)^{16}-(1-x)^{16}$

यदि $p$ और $q$ धनात्मक पूर्णांक हैं,तो $(1 + x)^{p + q}$ के विस्तार में $x^p$ और $x^q$ के गुणांक क्या होंगे?