int frac{x^{e-1}+e^{x-1}}{x^{e}+e^{x}} d x का | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{x^{e-1}+e^{x-1}}{x^{e}+e^{x}} d x$ है। $t = x^{e}+e^{x}$ प्रतिस्थापित करें। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dt

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{e} \log \left(x^{e}+e^{x}\right)+c$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{x^{e-1}+e^{x-1}}{x^{e}+e^{x}} d x$ है। $t = x^{e}+e^{x}$ प्रतिस्थापित करें। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dt = (e x^{e-1} + e^{x-1} \cdot \ln(e)) dx$ प्राप्त होता है। चूंकि $\ln(e) = 1$,इसलिए $dt = e(x^{e-1} + e^{x-1}) dx$ होता है। अतः,$(x^{e-1} + e^{x-1}) dx = \frac{1}{e} dt$। इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{e} dt = \frac{1}{e} \int \frac{1}{t} dt$ प्राप्त होता है। समाकलन करने पर,$I = \frac{1}{e} \log|t| + c$ प्राप्त होता है। $t = x^{e}+e^{x}$ का मान वापस रखने पर,$I = \frac{1}{e} \log(x^{e}+e^{x}) + c$ प्राप्त होता है।

$\int \frac{x^{e-1}+e^{x-1}}{x^{e}+e^{x}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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