frac{2}{3!} + frac{4}{5!} + frac{6}{7!} + dot | vedclass

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Question

(D) माना श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n+1)!}$ है।सामान्य पद $T_n = \frac{2n}{(2n+1)!} = \frac{(2n+1)-1}{(2n+1)!} = \frac{1}{(2n)!} - \f

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$1/e$

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(D) माना श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n+1)!}$ है।सामान्य पद $T_n = \frac{2n}{(2n+1)!} = \frac{(2n+1)-1}{(2n+1)!} = \frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!}$ है।$n=1$ से $\infty$ तक योग करने पर:$S = \left( \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \right) - \left( \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \frac{1}{7!} + \dots \right)$.हम जानते हैं कि $e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots$ और $e^{-1} = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots$.अतः,$\frac{e+e^{-1}}{2} = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots \implies \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots = \frac{e+e^{-1}}{2} - 1$.और $\frac{e-e^{-1}}{2} = \frac{1}{1!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots \implies \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots = \frac{e-e^{-1}}{2} - 1$.इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:$S = \left( \frac{e+e^{-1}}{2} - 1 \right) - \left( \frac{e-e^{-1}}{2} - 1 \right) = \frac{e+e^{-1}-e+e^{-1}}{2} = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

$\frac{2}{3!} + \frac{4}{5!} + \frac{6}{7!} + \dots \infty = $

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${\left[ {1 + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{4!}} + \dots \infty } \right]^2} - {\left[ {1 + \frac{1}{{3!}} + \frac{1}{{5!}} + \dots \infty } \right]^2} = $

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