નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધો: $\left| \begin{array}{ccc} x & 4 & y + z \\ y & 4 & z + x \\ z & 4 & x + y \end{array} \right|$

$A$ મૂલ્ય ધરાવતા ત્રીજા ક્રમના નિશ્ચાયકનો દરેક ઘટક $3$ વડે ગુણવામાં આવે,તો નવા બનેલા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય કેટલું થાય ($A$ માં)?

$\left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2a & 2a \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b\end{array}\right|$ ની કિંમત શોધો.

જો $A, B$ અને $C$ એ $n \times n$ શ્રેણિકો હોય અને $\det(A) = 2$,$\det(B) = 3$ અને $\det(C) = 5$ હોય,તો $\det(A^2BC^{-1})$ ની કિંમત શોધો.

વિધાન-$1$: $3$ કક્ષાના વિસંમિત શ્રેણિક (skew-symmetric matrix) નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય છે.
વિધાન-$2$: $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$\det(A^T) = \det(A)$ અને $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$ થાય છે.

ધારો કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જ્યાં $\operatorname{det}(A) = 4$. ધારો કે $R_{i}$ એ $A$ ની $i^{\text{મી}}$ હાર દર્શાવે છે. જો શ્રેણિક $2A$ પર $R_{2} \rightarrow 2R_{2} + 5R_{3}$ પ્રક્રિયા કરીને શ્રેણિક $B$ મેળવવામાં આવે,તો $\operatorname{det}(B)$ ની કિંમત કેટલી થાય?