$2\,\,\left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ {a^2 - bc} & {b^2 - ac} & {c^2 - ab} \end{array}} \right| = $

कथन-$1$: $3$ कोटि के विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) का सारणिक शून्य होता है।
कथन-$2$: $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$\det(A^T) = \det(A)$ और $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$ होता है।

यदि ${f_n}(x)$,${g_n}(x)$,${h_n}(x)$ जहाँ $n = 1, 2, 3$,$x$ में बहुपद हैं,इस प्रकार कि ${f_n}(a) = {g_n}(a) = {h_n}(a)$ जहाँ $n = 1, 2, 3$,तो सारणिक $F(x) = \left| \begin{matrix} {f_1}(x) & {f_2}(x) & {f_3}(x) \\ {g_1}(x) & {g_2}(x) & {g_3}(x) \\ {h_1}(x) & {h_2}(x) & {h_3}(x) \end{matrix} \right|$ का मान $x = a$ पर क्या होगा?

एक आव्यूह और उसके परिवर्त आव्यूह का गुणनफल एक तत्समक आव्यूह है। इस आव्यूह के सारणिक का मान क्या है?

सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{ccc}a^{2} & b c & a c+c^{2} \\ a^{2}+a b & b^{2} & a c \\ a b & b^{2}+b c & c^{2}\end{array}\right|=4 a^{2} b^{2} c^{2}$

यदि $\left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ m & n & p \\ x & y & z \end{array} \right| = k$ है,तो $\left| \begin{array}{ccc} 6a & 2b & 2c \\ 3m & n & p \\ 3x & y & z \end{array} \right| = $