$L$ લંબાઈ અને $M$ દળ ધરાવતો એક પાતળો સમાન સળિયો તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી આડી ધરી પર મુક્તપણે દોલન કરે છે. તેની મહત્તમ કોણીય ઝડપ $\omega$ છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કેટલી મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જશે? [જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે]

$M$ દળના બ્લોકમાં આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ઘર્ષણરહિત સપાટી સાથેનો એક ગોળાકાર કાપ છે. આ બ્લોક એક સ્થિર ટેબલની આડી ઘર્ષણરહિત સપાટી પર રહેલો છે. શરૂઆતમાં,બ્લોકની જમણી ધાર ટેબલ સાથે જોડાયેલ યામ પદ્ધતિમાં $x=0$ પર છે. એક બિંદુવત દળ $m$ ને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પથના સૌથી ઉપરના બિંદુએથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે અને તે નીચે સરકે છે. જ્યારે દળ બ્લોક સાથેનો સંપર્ક ગુમાવે છે,ત્યારે તેનું સ્થાન $x$ છે અને વેગ $v$ છે. તે ક્ષણે,નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?
$[A]$ બ્લોક $M$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાનાંતરનો $x$ ઘટક: $-\frac{m R}{M+m}$ છે.
$[B]$ બિંદુવત દળનું સ્થાન: $x=-\sqrt{2} \frac{mR}{M+m}$ છે.
$[C]$ બિંદુવત દળ $m$ નો વેગ: $v=\sqrt{\frac{2 g R}{1+\frac{m}{M}}}$ છે.
$[D]$ બ્લોક $M$ નો વેગ: $V=-\frac{m}{M} \sqrt{2 g R}$ છે.

આકૃતિમાં દર્શાવેલ વેજ (wedge) નો ભાગ $AB$ ખરબચડો છે અને $BC$ લીસો છે. એક નક્કર નળાકાર $A$ થી $B$ સુધી સરક્યા વિના ગબડે છે. જ્યારે નળાકાર બિંદુ $C$ પર પહોંચે ત્યારે તેની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર કેટલો હશે?

એક ડિસ્કને તેના કેન્દ્ર $O$ ની આસપાસ અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ સાથે સમક્ષિતિજ સમતલમાં ફરતી ધ્યાનમાં લો. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ડિસ્કના વ્યાસની એક બાજુએ છાયાંકિત ભાગ અને બીજી બાજુએ અછાયાંકિત ભાગ છે. જ્યારે ડિસ્ક આકૃતિમાં દર્શાવેલ સ્થિતિમાં હોય,ત્યારે બે કાંકરા $P$ અને $Q$ ને એકસાથે $R$ તરફ એક ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. પ્રક્ષેપણનો વેગ $y-z$ સમતલમાં છે અને ડિસ્કની સાપેક્ષમાં બંને કાંકરા માટે સમાન છે. ધારો કે $(i)$ તેઓ ડિસ્ક $\frac{1}{8}$ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે તે પહેલાં ડિસ્ક પર પાછા ફરે છે,$(ii)$ તેમની રેન્જ ડિસ્કની અડધી ત્રિજ્યા કરતા ઓછી છે,અને $(iii)$ $\omega$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે. તો

$20 \; kg$ દળ અને $20 \; cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ફ્લાયવ્હીલની કિનારી પર અવગણ્ય દળ ધરાવતી દોરી વીંટાળેલી છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ દોરી પર $25 \; N$ નું સતત ખેંચાણ બળ લગાડવામાં આવે છે. ફ્લાયવ્હીલ ઘર્ષણરહિત બેરિંગ સાથે આડા ધરી પર ગોઠવાયેલું છે.
$(a)$ વ્હીલનો કોણીય પ્રવેગ શોધો.
$(b)$ જ્યારે $2 \; m$ દોરી ઉકેલાય ત્યારે ખેંચાણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય શોધો.
$(c)$ આ બિંદુએ વ્હીલની ગતિઊર્જા પણ શોધો. ધારો કે વ્હીલ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે.
$(d)$ ભાગ $(b)$ અને $(c)$ ના જવાબોની સરખામણી કરો.

$2 \, kg$ દળ અને $1 \, m$ લંબાઈનો એક પાતળો સમાન સીધો સળિયો તેના ઉપરના છેડા પર મુક્ત રીતે ફરી શકે તેમ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,તેના સૌથી નીચેના બિંદુ પર તેની લંબાઈને લંબરૂપે $10 \, Ns$ નો આઘાતી બળ (impulsive blow) આપવામાં આવે છે. અથડામણ પછી તરત જ સળિયાની ગતિઊર્જા ........ $J$ હશે.