$f: R \rightarrow R$,$f(x) = 4x + 3$ વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $f^{-1}(x) =$ . . . . . . .

સાબિત કરો કે $f:[-1,1] \rightarrow R$,જે $f(x)=\frac{x}{x+2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે એક-એક (one-one) વિધેય છે. વિધેય $f:[-1,1] \rightarrow \text{Range } f$ નું પ્રતિવિધેય (inverse) શોધો.

ધારો કે $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c\}$ અને $g: \{a, b, c\} \rightarrow \{\text{apple, ball, cat}\}$ એ $f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c$ અને $g(a)=\text{apple}, g(b)=\text{ball}, g(c)=\text{cat}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે $f, g$ અને $g \circ f$ વ્યસ્ત-સંપન્ન છે. $f^{-1}, g^{-1}$ અને $(g \circ f)^{-1}$ શોધો અને સાબિત કરો કે $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$.

જો $f$ એ $g$ નું પ્રતિવિધેય (inverse function) હોય અને $g^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^n}$ હોય, તો $f^{\prime}(x)$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $g(x)$ એ એક વ્યસ્ત કરી શકાય તેવા વિધેય $f(x)$ નો વ્યસ્ત છે જે $x = c$ આગળ વિકલનીય છે,તો $g'(f(c))$ બરાબર શું થાય?

$f: R_{+} \rightarrow [-5, \infty)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = 9x^{2} + 6x - 5$ ધ્યાનમાં લો. સાબિત કરો કે $f$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે અને $f^{-1}(y) = \frac{\sqrt{y+6}-1}{3}$ છે.