left{frac{d}{d x}left(x^x+x^{x+1}+x^{x+2}righ | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = x^x + x^{x+1} + x^{x+2}$ है।हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \ln x)$ होता है।$x^{x+1}$ के लिए,माना $y = x^{x+1}$,तो $\ln

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$e^e(2e^2+4e+3)$

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(C) माना $f(x) = x^x + x^{x+1} + x^{x+2}$ है।हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \ln x)$ होता है।$x^{x+1}$ के लिए,माना $y = x^{x+1}$,तो $\ln y = (x+1)\ln x$। दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + \frac{x+1}{x} = \ln x + 1 + \frac{1}{x}$। अतः,$\frac{d}{dx}(x^{x+1}) = x^{x+1}(\ln x + 1 + \frac{1}{x})$।$x^{x+2}$ के लिए,माना $y = x^{x+2}$,तो $\ln y = (x+2)\ln x$। दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + \frac{x+2}{x} = \ln x + 1 + \frac{2}{x}$। अतः,$\frac{d}{dx}(x^{x+2}) = x^{x+2}(\ln x + 1 + \frac{2}{x})$।अब,$x=e$ पर मान ज्ञात करने पर:$\frac{d}{dx}(x^x)|_{x=e} = e^e(1 + \ln e) = e^e(1+1) = 2e^e$।$\frac{d}{dx}(x^{x+1})|_{x=e} = e^{e+1}(\ln e + 1 + \frac{1}{e}) = e^{e+1}(2 + \frac{1}{e}) = 2e^{e+1} + e^e = e^e(2e+1)$।$\frac{d}{dx}(x^{x+2})|_{x=e} = e^{e+2}(\ln e + 1 + \frac{2}{e}) = e^{e+2}(2 + \frac{2}{e}) = 2e^{e+2} + 2e^{e+1} = e^e(2e^2+2e)$।इनका योग करने पर: $e^e(2 + 2e + 1 + 2e^2 + 2e) = e^e(2e^2 + 4e + 3)$।

$\left\{\frac{d}{d x}\left(x^x+x^{x+1}+x^{x+2}\right)\right\}_{x=e} = \text{?}$

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यदि $f(x) = 4x^3 + 3x^2 + 3x + 4$,$x \neq 0$ है,तो $\frac{d}{dx}\left(x^3 \cdot f\left(\frac{1}{x}\right)\right) =$ . . . . . .

यदि $a$ और $b$ निश्चित शून्येतर स्थिरांक हैं,तो $\frac{a}{x^{4}}-\frac{b}{x^{2}}+\cos x$ का अवकलज $ma+nb-p$ है,जहाँ

यदि $\frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{2{x^3} + 3{x^2} + x - 3}}{{{x^2} + x - 2}}} \right] = A + \frac{B}{{{{(x - 1)}^2}}} + \frac{C}{{{{(x + 2)}^2}}}$ है,तो $(A - B + C)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x)=x^{n}$, जहाँ $n$ एक अऋणात्मक पूर्णांक है, तो $n$ के वे मान जिनके लिए सभी $\alpha, \beta > 0$ के लिए $f^{\prime}(\alpha+\beta)=f^{\prime}(\alpha)+f^{\prime}(\beta)$ है, हैं:

$\frac{d}{dx}[\sin^n x \cos nx] = $

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