$20 \text{ cm}$ लंबाई के एक तार को एक वृत्त के त्रिज्यखंड (sector) के रूप में मोड़ा जाता है। तार द्वारा घेरा गया अधिकतम क्षेत्रफल क्या है ($\text{ cm}^2$ में)?

यदि किसी फलन $f(x)$ के लिए,$f'(a) = 0$ और $f''(a) = 0$ है,तो $x = a$ है:

अंतराल $[0, 1]$ पर,फलन $f(x) = {x^{25}}{(1 - x)^{75}}$ अपना अधिकतम मान किस बिंदु पर प्राप्त करता है?

यदि दिए गए पृष्ठीय क्षेत्रफल वाले एक खुले बेलन का आयतन अधिकतम है,तो उसकी त्रिज्या है

कथन-$I$: संख्याओं $1, 2^{1/2}, 3^{1/3}, 4^{1/4}, 5^{1/5}, 6^{1/6}, 7^{1/7}$ में से अधिकतम $3^{1/3}$ है।
कथन-$II$: फलन $f(x) = x^{1/x}$,$0 < x < e$ के लिए बढ़ता है और $x > e$ के लिए घटता है।

फलन $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$ जहाँ $a > 0$ है, क्रमशः $p$ और $q$ पर स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम मान प्राप्त करता है। यदि $p^2 = q$ है, तो $a =$