एक समूह $(G, *)$ में $10$ अवयव हैं। $G$ के अवयवों की न्यूनतम संख्या,जो स्वयं के प्रतिलोम हैं,है

$R - \{-1\}$ पर परिभाषित द्विआधारी संक्रिया $*$ जहाँ $a * b = \frac{a}{b+1}$ है,वह है:

एक अरिक्त समुच्चय $X$ दिया गया है,मान लीजिए $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ को $A \,^*\, B = (A - B) \cup (B - A)$,$\forall A, B \in P(X)$ के रूप में परिभाषित किया गया है। सिद्ध कीजिए कि रिक्त समुच्चय $\Phi$ संक्रिया $^*$ के लिए तत्समक है और $P(X)$ के सभी अवयव $A$,$A^{-1} = A$ के साथ व्युत्क्रमणीय हैं।

निर्धारित कीजिए कि समुच्चय $N$ पर निम्नलिखित में से कौन सी द्विआधारी संक्रियाएँ साहचर्य हैं और कौन सी क्रमविनिमेय हैं: $a \ast b = 1$,सभी $a, b \in N$ के लिए।

मान लीजिए कि $*^{\prime}$ समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ पर $a *^{\prime} b = a$ और $b$ का म.स.प. ($H$.$C$.$F$.) द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। क्या संक्रिया $*^{\prime}$ ऊपर दिए गए अभ्यास $4$ में परिभाषित संक्रिया $*$ के समान है? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।

दिखाइए कि योग और गुणन $R$ पर साहचर्य (associative) द्विआधारी संक्रियाएं हैं। हालांकि,घटाव $R$ पर साहचर्य नहीं है और भाग $R_*$ पर साहचर्य नहीं है।