2 cos ^{-1} x = sin ^{-1} left( 2 x sqrt{1 - | vedclass

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Question

(D) माना $x = \cos 	heta$,जहाँ $	heta = \cos^{-1} x$ है। चूँकि $x \in [-1, 1]$,इसलिए $	heta \in [0, \pi]$ है।दाएँ पक्ष में $x = \cos 	heta$ रखने प

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$\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$

Vedclass · Answer

(D) माना $x = \cos 	heta$,जहाँ $	heta = \cos^{-1} x$ है। चूँकि $x \in [-1, 1]$,इसलिए $	heta \in [0, \pi]$ है।दाएँ पक्ष में $x = \cos 	heta$ रखने पर:$\sin^{-1} (2 \cos 	heta \sqrt{1 - \cos^2 	heta}) = \sin^{-1} (2 \cos 	heta \sin 	heta) = \sin^{-1} (\sin 2 	heta)$.इसे $2 \cos^{-1} x = 2 	heta$ के बराबर होने के लिए,$\sin^{-1} (\sin 2 	heta) = 2 	heta$ होना चाहिए।यह तब मान्य है जब $2 	heta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,जिसका अर्थ है $	heta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$।चूँकि $	heta \in [0, \pi]$ है,इसलिए उभयनिष्ठ अंतराल $	heta \in [0, \frac{\pi}{4}]$ है।चूँकि $	heta = \cos^{-1} x$,इसलिए $0 \leq \cos^{-1} x \leq \frac{\pi}{4}$।दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर (ध्यान दें कि कोसाइन इस अंतराल में एक घटता हुआ फलन है):$\cos(0) \geq x \geq \cos(\frac{\pi}{4})$,जिससे $1 \geq x \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ या $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$ प्राप्त होता है।

$2 \cos ^{-1} x = \sin ^{-1} \left( 2 x \sqrt{1 - x^2} \right)$,$x$ के किन मानों के लिए मान्य है?

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मान ज्ञात कीजिए: ${\tan ^{ - 1}}1 + {\tan ^{ - 1}}2 + {\tan ^{ - 1}}3$

यदि $y = \sin^{-1}x + \sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$,जहाँ $-1 \le x \le 1$ है,तो $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

$\frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} \left( \frac{\cos x}{1 + \sin x} \right) \right) =$

यदि $\cos \left(\cos ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}+\sin ^{-1} x\right)=1$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2}{9}\right)=\frac{1}{2} \cos ^{-1} x$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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