यदि y = sin^{-1}x + sin^{-1}sqrt{1-x^2},जहाँ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $y = \sin^{-1}x + \sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$.माना $x = \sin	heta$,तब $	heta = \sin^{-1}x$. चूँकि $-1 \le x \le 1$,इसलिए $-\frac{\pi}{2}

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(A) दिया गया है $y = \sin^{-1}x + \sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$.माना $x = \sin	heta$,तब $	heta = \sin^{-1}x$. चूँकि $-1 \le x \le 1$,इसलिए $-\frac{\pi}{2} \le 	heta \le \frac{\pi}{2}$ है।तब $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2	heta} = \sqrt{\cos^2	heta} = |\cos	heta|$.चूँकि $-\frac{\pi}{2} \le 	heta \le \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos	heta \ge 0$,अतः $|\cos	heta| = \cos	heta$.इस प्रकार,$y = \sin^{-1}(\sin	heta) + \sin^{-1}(\cos	heta) = 	heta + \sin^{-1}(\sin(\frac{\pi}{2} - 	heta))$.जब $x \in [0, 1]$,तब $0 \le 	heta \le \frac{\pi}{2}$,इसलिए $y = 	heta + (\frac{\pi}{2} - 	heta) = \frac{\pi}{2}$.जब $x \in [-1, 0]$,तब $-\frac{\pi}{2} \le 	heta $y = 	heta + \sin^{-1}(\sin(\frac{\pi}{2} + 	heta))$. चूँकि $\frac{\pi}{2} + 	heta \in [0, \pi]$,हम सर्वसमिका $\sin^{-1}(\sin A) = \pi - A$ का उपयोग करते हैं।$y = 	heta + \pi - (\frac{\pi}{2} + 	heta) = \frac{\pi}{2}$.दोनों स्थितियों में,$y = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2}) = 0$.

यदि $y = \sin^{-1}x + \sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$,जहाँ $-1 \le x \le 1$ है,तो $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

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