श्रेणी tan^{-1}left(frac{1}{3}right) + tan^{- | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = 	an^{-1}\left(\frac{2^{n-1}}{1+2^{2n-1}}ight)$ है।हम तर्क को $\frac{2^n - 2^{n-1}}{1 + 2^n \cdot 2^{n-1}}$ के रूप म

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$\frac{\pi}{4}$

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(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = 	an^{-1}\left(\frac{2^{n-1}}{1+2^{2n-1}}ight)$ है।हम तर्क को $\frac{2^n - 2^{n-1}}{1 + 2^n \cdot 2^{n-1}}$ के रूप में लिख सकते हैं।सूत्र $	an^{-1}(x) - 	an^{-1}(y) = 	an^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}ight)$ का उपयोग करने पर,$T_n = 	an^{-1}(2^n) - 	an^{-1}(2^{n-1})$ प्राप्त होता है।प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} (	an^{-1}(2^k) - 	an^{-1}(2^{k-1}))$ है।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = (	an^{-1}(2^1) - 	an^{-1}(2^0)) + (	an^{-1}(2^2) - 	an^{-1}(2^1)) + \dots + (	an^{-1}(2^n) - 	an^{-1}(2^{n-1}))$।$S_n = 	an^{-1}(2^n) - 	an^{-1}(1) = 	an^{-1}(2^n) - \frac{\pi}{4}$।जैसे $n 	o \infty$,$S_n = 	an^{-1}(\infty) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$।

श्रेणी $\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{2}{9}\right) + \dots + \tan^{-1}\left(\frac{2^{n-1}}{1+2^{2n-1}}\right) + \dots$ के अनंत पदों का योग ज्ञात कीजिए।

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