$\frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \ldots$ $24$ पदों तक $=$

यदि $a_1, a_2, \dots, a_n$ सार्व अंतर $d$ के साथ $A.P.$ में हैं,तो श्रेणी $\sin d (\csc a_1 \csc a_2 + \csc a_2 \csc a_3 + \dots + \csc a_{n-1} \csc a_n)$ का योग क्या है?

यदि $a_n = \frac{-2}{4n^2 - 16n + 15}$ है,तो $a_1 + a_2 + \dots + a_{25}$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\frac{1}{(1 + a)(2 + a)} + \frac{1}{(2 + a)(3 + a)} + \frac{1}{(3 + a)(4 + a)} + \dots + \infty$ का मान क्या है? (जहाँ $a$ एक स्थिरांक है)

$\prod\limits_{n = 1}^{10} {\left( {\frac{{6\sum\limits_{i = 0}^n i + 1}}{{6\sum\limits_{j = 0}^n {(j - 1)} + 1}}} \right)} $ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $t_{n} = \frac{1}{4}(n+2)(n+3)$ जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है,तो $\frac{1}{t_{1}} + \frac{1}{t_{2}} + \frac{1}{t_{3}} + \dots + \frac{1}{t_{2003}}$ का मान ज्ञात कीजिए।