frac{1}{(1 + a)(2 + a)} + frac{1}{(2 + a)(3 + | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n + a)(n + 1 + a)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$n^{th}$ पद $T_n$ इस प्रकार है:$T_n = \frac

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$\frac{1}{1 + a}$

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(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n + a)(n + 1 + a)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$n^{th}$ पद $T_n$ इस प्रकार है:$T_n = \frac{1}{(n + a)(n + 1 + a)} = \frac{1}{n + a} - \frac{1}{n + 1 + a}$.प्रथम $n$ पदों का योग $S_n$ लिखने पर:$S_n = (\frac{1}{1 + a} - \frac{1}{2 + a}) + (\frac{1}{2 + a} - \frac{1}{3 + a}) + \dots + (\frac{1}{n + a} - \frac{1}{n + 1 + a})$.यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसमें मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:$S_n = \frac{1}{1 + a} - \frac{1}{n + 1 + a}$.अनंत तक योग ज्ञात करने के लिए,हम $n 	o \infty$ पर सीमा लेते हैं:$S_{\infty} = \lim_{n 	o \infty} (\frac{1}{1 + a} - \frac{1}{n + 1 + a}) = \frac{1}{1 + a} - 0 = \frac{1}{1 + a}$.

$\frac{1}{(1 + a)(2 + a)} + \frac{1}{(2 + a)(3 + a)} + \frac{1}{(3 + a)(4 + a)} + \dots + \infty$ का मान क्या है? (जहाँ $a$ एक स्थिरांक है)

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$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{n}{{n + 2}}} \right) - {{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)} \right)} $ का मान ज्ञात कीजिए।

श्रेणी $1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + 3 \times 4 \times 5 + \ldots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

यदि $n = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $t_n = \frac{1}{4}(n+2)(n+3)$ है, तो $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \ldots + \frac{1}{t_{2003}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

योग $\sum\limits_{r = 1}^{10} {({r^2} + 1) \times r!}$ किसके बराबर है?

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