एक बिंदु इस प्रकार गति करता है कि (ae, 0) और | vedclass

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Question

(B) माना गतिमान बिंदु के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों) से बिंदु की दूरियों का योग अचर $(2a)$ हो

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$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Vedclass · Answer

(B) माना गतिमान बिंदु के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों) से बिंदु की दूरियों का योग अचर $(2a)$ होता है।दी गई शर्त $\sqrt{(x - ae)^2 + y^2} + \sqrt{(x + ae)^2 + y^2} = 2a$ है।इस समीकरण को सरल करने पर:$\sqrt{(x - ae)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:$(x - ae)^2 + y^2 = 4a^2 + (x + ae)^2 + y^2 - 4a\sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.$x^2 - 2aex + a^2e^2 + y^2 = 4a^2 + x^2 + 2aex + a^2e^2 + y^2 - 4a\sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.$-4aex - 4a^2 = -4a\sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.$ex + a = \sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.पुनः वर्ग करने पर:$e^2x^2 + 2aex + a^2 = x^2 + 2aex + a^2e^2 + y^2$.$x^2(1 - e^2) + y^2 = a^2(1 - e^2)$.$a^2(1 - e^2)$ से भाग देने पर:$\frac{x^2(1 - e^2)}{a^2(1 - e^2)} + \frac{y^2}{a^2(1 - e^2)} = 1$.चूंकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,हमें $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।

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