$x^2+y^2+2x+4y-20=0$ और $x^2+y^2+6x-8y+10=0$ दिए गए वृत्त हैं। निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

  • A
    वे लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद करते हैं और उनके दो उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ हैं। उनकी उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ है।
  • B
    वे समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं और उनके दो उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ हैं। उनकी उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2$ है।
  • C
    वे लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद नहीं करते हैं और उनकी तीन उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ हैं। उनकी सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई $5$ है।
  • D
    वे एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं और उनकी केवल एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है।

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यदि $C_1$ और $C_2$ वृत्तों $x^2+y^2+6x+8y+24=0$ और $x^2+y^2-6x-8y+9=0$ के समानता के केंद्र (centres of similitude) हैं,तो $C_1C_2=$

मान लीजिए $S \equiv x^2+y^2-6x-6y+4=0$ और $S^{\prime} \equiv x^2+y^2-2x-4y+3=0$ दो वृत्त हैं। $\sqrt{14}$ त्रिज्या वाले और $S=0$ तथा $S^{\prime}=0$ के समान रेडिकल अक्ष वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए।

वृत्तों $S_\alpha: x^2+y^2+2\alpha x+k=0$ और $S_\beta: x^2+y^2+2\beta y-k=0$ के लिए,जहाँ $k>0$ है,List-$I$ की वस्तुओं को List-$II$ की वस्तुओं के साथ सुमेलित करें।
List-$I$List-$II$
$(A)$ $S_\alpha=0$ के बिंदु वृत्त$(i)$ अस्तित्व में नहीं हैं
$(B)$ $S_\beta=0$ के बिंदु वृत्त(ii) प्रतिच्छेदी
$(C)$ $S_\alpha=0$ में वृत्त हैं(iii) गैर-प्रतिच्छेदी
$(D)$ $S_\beta=0$ में वृत्त हैं(iv) $(\pm \sqrt{k}, 0)$
$(v)$ $(0, \pm \sqrt{k})$

यदि वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ और $x^2 + y^2 + 2ax + 4y + 4 = 0$ एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं, तो $a =$

वृत्तों $x^2+y^2+5x+4y-5=0$ और $x^2+y^2-3x+5y-6=0$ का मूलाक्ष (radical axis) है

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