$(102)^4 = ?$

मान लीजिए $S=\{a+b \sqrt{2}: a, b \in Z \}$,$T_1=\{(-1+\sqrt{2})^n: n \in N \}$ और $T_2=\{(1+\sqrt{2})^n: n \in N \}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $Z \cup T_1 \cup T_2 \subset S$
$(B)$ $T_1 \cap (0, \frac{1}{2024}) = \phi$,जहाँ $\phi$ रिक्त समुच्चय को दर्शाता है
$(C)$ $T_2 \cap (2024, \infty) \neq \phi$
$(D)$ किसी भी दिए गए $a, b \in Z$ के लिए,$\cos(\pi(a+b \sqrt{2})) + i \sin(\pi(a+b \sqrt{2})) \in Z$ यदि और केवल यदि $b=0$,जहाँ $i=\sqrt{-1}$

यदि $x$ इतना छोटा है कि $x^2$ और $x$ की उच्च घातों को नगण्य माना जा सकता है,तो $\frac{(1+\frac{2}{3}x)^{-3}(1-15x)^{-1/5}}{(2-3x)^4}$ का अनुमानित मान क्या होगा?

$(1 + x)^n(1 + y)^n(1 + z)^n$ के विस्तार में $m$ घात वाले पदों के गुणांकों का योग क्या है?

मान लीजिए $n \geq 5$ एक पूर्णांक है। यदि $9^{n}-8n-1=64\alpha$ और $6^{n}-5n-1=25\beta$ है,तो $\alpha-\beta$ का मान क्या होगा?

यदि $\sum_{r=0}^{10} \left( \frac{10^{r+1}-1}{10^r} \right) \cdot {}^{11}C_{r+1} = \frac{\alpha^{11}-11^{11}}{10^{10}}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए :