int frac{1}{x^2sqrt{1+x^2}} dx = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}} dx$. वर्गमूल से $x^2$ कॉमन लेने पर: $I = \int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x^2})}} dx = \int \frac

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$\frac{-\sqrt{x^2+1}}{x} + c$

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(A) माना $I = \int \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}} dx$. वर्गमूल से $x^2$ कॉमन लेने पर: $I = \int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x^2})}} dx = \int \frac{1}{x^3 \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} dx$. माना $1 + \frac{1}{x^2} = t^2$. अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$-\frac{2}{x^3} dx = 2t dt$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{x^3} = -t dt$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int -t dt / t = -\int dt = -t + c$. चूंकि $t = \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2+1}}{|x|}$,इसलिए $x > 0$ के लिए,$I = -\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} + c$.

$\int \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}} dx =$

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$\int \frac{x(x \sin x+\cos x)^{-2}}{\sec x} d x=$ . . . . . . $+C$

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