int_0^2 frac{2x-2}{2x-x^2} dx का मान ज्ञात की | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^2 \frac{2x-2}{2x-x^2} dx$ है। यहाँ फलन $f(x) = \frac{2x-2}{2x-x^2} = \frac{-(2-2x)}{x(2-x)}$ है। यह समाकलन अनुचित (improper) है क

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(A) माना $I = \int_0^2 \frac{2x-2}{2x-x^2} dx$ है। यहाँ फलन $f(x) = \frac{2x-2}{2x-x^2} = \frac{-(2-2x)}{x(2-x)}$ है। यह समाकलन अनुचित (improper) है क्योंकि हर $2x-x^2 = x(2-x)$ का मान $x=0$ और $x=2$ पर $0$ हो जाता है। अनिश्चित समाकलन ज्ञात करने पर: $\int \frac{2x-2}{2x-x^2} dx = \int \frac{-(2-2x)}{2x-x^2} dx$। माना $u = 2x-x^2$,तो $du = (2-2x) dx$,अतः $-(2-2x) dx = -du$। इस प्रकार,$\int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + C = -\ln|2x-x^2| + C$। सीमा का उपयोग करके निश्चित समाकलन ज्ञात करने पर: $\lim_{\epsilon 	o 0^+} \int_{\epsilon}^{2-\epsilon} \frac{2x-2}{2x-x^2} dx = \lim_{\epsilon 	o 0^+} [-\ln|2x-x^2|]_{\epsilon}^{2-\epsilon}$। $= \lim_{\epsilon 	o 0^+} [-\ln|2(2-\epsilon)-(2-\epsilon)^2| + \ln|2\epsilon-\epsilon^2|]$। $= \lim_{\epsilon 	o 0^+} [-\ln|2\epsilon-\epsilon^2| + \ln|2\epsilon-\epsilon^2|] = 0$। अतः,कॉची प्रिंसिपल वैल्यू $0$ प्राप्त होती है।

$\int_0^2 \frac{2x-2}{2x-x^2} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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