alpha का वह मान जिसके लिए 4 alpha int_{-1}^{2 | vedclass

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Question

(C) दिया गया समाकलन $I = \int_{-1}^{2} e^{-\alpha |x|} dx$ है। चूंकि $|x| = -x$ जब $x < 0$ और $|x| = x$ जब $x \ge 0$,हम समाकलन को विभाजित करते हैं: $I

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$\log_{e} 2$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समाकलन $I = \int_{-1}^{2} e^{-\alpha |x|} dx$ है। चूंकि $|x| = -x$ जब $x $I = \int_{-1}^{0} e^{\alpha x} dx + \int_{0}^{2} e^{-\alpha x} dx$. समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $I = \left[ \frac{e^{\alpha x}}{\alpha} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{e^{-\alpha x}}{-\alpha} \right]_{0}^{2} = \left( \frac{1}{\alpha} - \frac{e^{-\alpha}}{\alpha} \right) + \left( \frac{1}{\alpha} - \frac{e^{-2\alpha}}{\alpha} \right) = \frac{2 - e^{-\alpha} - e^{-2\alpha}}{\alpha}$. अब,इस मान को समीकरण $4\alpha I = 5$ में रखने पर: $4\alpha \left( \frac{2 - e^{-\alpha} - e^{-2\alpha}}{\alpha} \right) = 5$. $4(2 - e^{-\alpha} - e^{-2\alpha}) = 5 \Rightarrow 8 - 4e^{-\alpha} - 4e^{-2\alpha} = 5$. $4e^{-2\alpha} + 4e^{-\alpha} - 3 = 0$. माना $t = e^{-\alpha}$. तब $4t^2 + 4t - 3 = 0$. द्विघात समीकरण को हल करने पर: $t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(4)(-3)}}{8} = \frac{-4 \pm 8}{8}$. चूंकि $t = e^{-\alpha} > 0$,इसलिए $t = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ लेने पर। $e^{-\alpha} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{\alpha} = 2 \Rightarrow \alpha = \log_{e} 2$.

$\alpha$ का वह मान जिसके लिए $4 \alpha \int_{-1}^{2} e^{-\alpha |x|} dx = 5$ है,क्या है?

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