alpha ની કઈ કિંમત માટે 4 alpha int_{-1}^{2} e | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ સંકલન $I = \int_{-1}^{2} e^{-\alpha |x|} dx$ છે. $|x| = -x$ જ્યારે $x < 0$ અને $|x| = x$ જ્યારે $x \ge 0$ હોવાથી,આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચ

Vedclass · Accepted Answer

$\log_{e} 2$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ સંકલન $I = \int_{-1}^{2} e^{-\alpha |x|} dx$ છે. $|x| = -x$ જ્યારે $x $I = \int_{-1}^{0} e^{\alpha x} dx + \int_{0}^{2} e^{-\alpha x} dx$. સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા: $I = \left[ \frac{e^{\alpha x}}{\alpha} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{e^{-\alpha x}}{-\alpha} \right]_{0}^{2} = \left( \frac{1}{\alpha} - \frac{e^{-\alpha}}{\alpha} \right) + \left( \frac{1}{\alpha} - \frac{e^{-2\alpha}}{\alpha} \right) = \frac{2 - e^{-\alpha} - e^{-2\alpha}}{\alpha}$. હવે,આ કિંમતને $4\alpha I = 5$ માં મૂકતા: $4\alpha \left( \frac{2 - e^{-\alpha} - e^{-2\alpha}}{\alpha} \right) = 5$. $4(2 - e^{-\alpha} - e^{-2\alpha}) = 5 \Rightarrow 8 - 4e^{-\alpha} - 4e^{-2\alpha} = 5$. $4e^{-2\alpha} + 4e^{-\alpha} - 3 = 0$. ધારો કે $t = e^{-\alpha}$. તેથી $4t^2 + 4t - 3 = 0$. દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(4)(-3)}}{8} = \frac{-4 \pm 8}{8}$. $t = e^{-\alpha} > 0$ હોવાથી,$t = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ લેતા. $e^{-\alpha} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{\alpha} = 2 \Rightarrow \alpha = \log_{e} 2$.

$\alpha$ ની કઈ કિંમત માટે $4 \alpha \int_{-1}^{2} e^{-\alpha |x|} dx = 5$ થાય?

Similar Questions

$\int_{-1}^{2} \frac{|x|}{x} d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_0^\infty {{e^{ - 2x}}(\sin 2x + \cos 2x)\,dx = } $

$\left[ \int_{0}^{2} \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \dots \infty}}} \, dx \right]$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $[\cdot]$ એ $G.I.F.$ છે)

ધારો કે $f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = x^2 + 5$ અને $2g(x) - 3g\left(\frac{1}{x}\right) = x$ જ્યાં $x > 0$. જો $\alpha = \int_1^2 f(x) dx$ અને $\beta = \int_1^2 g(x) dx$ હોય,તો $9\alpha + \beta$ ની કિંમત શોધો:

જો $\int\limits_0^a {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + a} + \sqrt x }}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{8}} {\frac{{2\tan \theta }}{{\sin 2\theta }}} d\theta$ હોય,તો $a$ ની કિંમત $(a > 0)$ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module