int_{-a}^{a} sqrt{frac{a - x}{a + x}} dx = | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{a - x}{a + x}} dx$ है। गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a

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$a \pi$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{a - x}{a + x}} dx$ है। गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = -a$ और $b = a$ है,हमें $f(x) \rightarrow f(-a + a - x) = f(-x)$ प्राप्त होता है। $I = \int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{a - (-x)}{a + (-x)}} dx = \int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{a + x}{a - x}} dx$। $I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int_{-a}^{a} \left( \sqrt{\frac{a - x}{a + x}} + \sqrt{\frac{a + x}{a - x}} \right) dx$। $2I = \int_{-a}^{a} \frac{(a - x) + (a + x)}{\sqrt{(a + x)(a - x)}} dx = \int_{-a}^{a} \frac{2a}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$। चूंकि फलन सम है,$2I = 2 \int_{0}^{a} \frac{2a}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$। $I = 2a \int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$। $I = 2a [\sin^{-1}(\frac{x}{a})]_{0}^{a}$। $I = 2a (\sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0)) = 2a (\frac{\pi}{2} - 0) = a \pi$।

$\int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{a - x}{a + x}} dx =$

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