int_{ - pi /2}^{pi /2} {frac{{sin x}}{{1 + {{ | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {f(x)dx} $,जहाँ $f(x) = \frac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}{e^{ - {{\cos }^2}x}}$.जाँच करें कि $f(x)$ एक विषम

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(C) माना $I = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {f(x)dx} $,जहाँ $f(x) = \frac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}{e^{ - {{\cos }^2}x}}$.जाँच करें कि $f(x)$ एक विषम फलन है या सम फलन:$f(-x) = \frac{{\sin(-x)}}{{1 + {{\cos }^2}(-x)}}{e^{ - {{\cos }^2}(-x)}}$चूँकि $\sin(-x) = -\sin x$ और $\cos(-x) = \cos x$,इसलिए:$f(-x) = \frac{{-\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}{e^{ - {{\cos }^2}x}} = -f(x)$.चूँकि $f(x)$ एक विषम फलन है,निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ के अनुसार,यदि $f(x)$ विषम है तो:$I = 0$.

$\int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}{e^{ - {{\cos }^2}x}}dx} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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