int_0^{pi / 2} log _e(sin 2 x) d x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \log _e(\sin 2 x) d x$. $2x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \frac{1}{2} dt$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तब $t = 0$ और ज

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{\pi}{2} \log 2$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \log _e(\sin 2 x) d x$. $2x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \frac{1}{2} dt$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तब $t = 0$ और जब $x = \frac{\pi}{2}$,तब $t = \pi$. अतः,$I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \log _e(\sin t) dt$. गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(2a-x) = f(x)$,हमें प्राप्त होता है कि $\int_0^{\pi} \log _e(\sin t) dt = 2 \int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt$. इस प्रकार,$I = \frac{1}{2} 	imes 2 \int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt = \int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt$. यह एक मानक परिणाम है कि $\int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt = -\frac{\pi}{2} \log _e 2$. अतः,$I = -\frac{\pi}{2} \log _e 2$.

$\int_0^{\pi / 2} \log _e(\sin 2 x) d x$

Similar Questions

$I = \int\limits_0^1 \sqrt[3]{2x^3 - 3x^2 - x + 1} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $p(x)$ एक फलन है जो $R$ पर परिभाषित है,जहाँ $p'(x) = p'(1 - x)$ सभी $x \in [0, 1]$ के लिए,$p(0) = 1$ और $p(1) = 41$ है। तो $\int_{0}^{1} p(x) dx = $

यदि $\int_0^{2024 \pi} \frac{2023^{\sin ^2 x}}{2023^{\sin ^2 x}+2023^{\cos ^2 x}} d x=k$ है,तो $\left(\frac{2 k}{\pi}+1\right)=$

निश्चित समाकलन $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{d x}{1+\sqrt{\cot x}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) d x=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module