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Question

(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{\sqrt{n^2-r^2}}{n^2}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=

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$\frac{\pi}{4}$

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(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{\sqrt{n^2-r^2}}{n^2}$ है।हम इसे $S = \lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n \sqrt{1-(r/n)^2}}{n^2} = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \sqrt{1-(\frac{r}{n})^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$ होता है।यहाँ,$f(x) = \sqrt{1-x^2}$ है।अतः,$S = \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$ है।मानक समाकल सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:$S = [\frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1}(x)]_{0}^{1}$ प्राप्त होता है।सीमाओं का मान रखने पर: $S = (0 + \frac{1}{2} \sin^{-1}(1)) - (0 + \frac{1}{2} \sin^{-1}(0)) = \frac{1}{2} 	imes \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\sqrt{n^2-1^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-2^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-3^2}}{n^2}+\ldots+\frac{\sqrt{n^2-n^2}}{n^2}\right]=$

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k+1}}\left[2^k+4^k+6^k+\ldots+(2 n)^k\right]=$

$\int_{0}^{1} a^k x^k dx =$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)=$

मान लीजिए $[ \cdot ]$ महत्तम पूर्णांक फलन है और $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n \left[ \frac{k^2}{3^x} \right]$. तो $12 \sum_{j=1}^{\infty} f(j)$ का मान ........... है।

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