int_0^1 x^{3/2} sqrt{1-x} , dx का मान ज्ञात क | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^1 x^{3/2} \sqrt{1-x} \, dx$ है। $x = \sin^2 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 \sin 	heta \cos 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता

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$\frac{\pi}{16}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_0^1 x^{3/2} \sqrt{1-x} \, dx$ है। $x = \sin^2 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 \sin 	heta \cos 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$ है,तो $	heta = 0$ और जब $x = 1$ है,तो $	heta = \frac{\pi}{2}$ है। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int_0^{\pi/2} (\sin^2 	heta)^{3/2} \sqrt{1-\sin^2 	heta} \cdot (2 \sin 	heta \cos 	heta) \, d	heta$ $I = \int_0^{\pi/2} \sin^3 	heta \cdot \cos 	heta \cdot 2 \sin 	heta \cos 	heta \, d	heta$ $I = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^4 	heta \cos^2 	heta \, d	heta$ वालिस सूत्र का उपयोग करने पर: $I = 2 \cdot \left[ \frac{(3 \cdot 1) \cdot (1)}{(6 \cdot 4 \cdot 2)} \cdot \frac{\pi}{2} ight]$ $I = 2 \cdot \left[ \frac{3}{48} \cdot \frac{\pi}{2} ight] = \frac{\pi}{16}$.

$\int_0^1 x^{3/2} \sqrt{1-x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^{x^2} {(t - 1)(t - 4)(t - 9)} dt$,तो:

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