समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \left( 1 + \log \left( \frac{2 + \sin x}{2 - \sin x} \right) \right) dx$ का मान है

यदि $f(x) = \int_{0}^{x} t \sin t \,dt$ है,तो $f^{\prime}(x)$ है

मान लीजिए $F(x) = \int_x^{x^2+\frac{\pi}{6}} 2 \cos^2 t \, dt$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए है और $f: [0, \frac{1}{2}] \rightarrow [0, \infty)$ एक सतत फलन है। $a \in [0, \frac{1}{2}]$ के लिए,यदि $F'(a) + 2$,$x=0, y=0, y=f(x)$ और $x=a$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है,तो $f(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f$,$\mathbb{R}$ पर एक दो बार अवकलनीय फलन है। यदि $f^{\prime}(0)=4$ और $f(x)+\int_{0}^{x}(x-t) f^{\prime}(t) d t=\left(e^{2 x}+e^{-2 x}\right) \cos 2 x+\frac{2}{a} x$ है,तो $(2 a+1)^{5} a^{2}$ का मान $\dots\dots$ है।

मान लीजिए कि एक अवकलनीय फलन $f$ समीकरण $\int_{0}^{36} f(\frac{tx}{36}) dt = 4\alpha f(x)$ को संतुष्ट करता है। यदि $y = f(x)$ एक मानक परवलय है जो बिंदुओं $(2, 1)$ और $(-4, \beta)$ से होकर गुजरता है, तो $\beta^{\alpha}$ का मान . . . . . . है।

$\lim \limits_{x \rightarrow 1} \left( \frac{\int \limits_{0}^{(x-1)^{2}} t \cos(t^{2}) dt}{(x-1) \sin(x-1)} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।