$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^2} \sec ^2 \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2} \sec ^2 \frac{4}{n^2}+\frac{3}{n^2} \sec ^2 \frac{9}{n^2}+\ldots+\frac{n}{n^2} \sec ^2 \frac{n^2}{n^2}\right]=$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\left( {\frac{n}{{{n^2} + {1^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {2^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {3^2}}} + ... + \frac{n}{{{n^2} + {{(2n)}^2}}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $k \in N$ है,तो $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\ldots+\frac{1}{k n}\right]=$

दिया गया है कि $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n p} f\left(\frac{r}{n}\right)=\int_0^p f(x) d x$. यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=x^2+2$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n}\left[f\left(\frac{7}{n}\right)+f\left(\frac{14}{n}\right)+f\left(\frac{21}{n}\right)+\ldots+f(7)\right]=$

यदि $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \left(\frac{(2 n)!}{n^n \cdot n!}\right)=\int_1^2 f(x) d x$ है, तो $f(x)=$

यदि $U_{n}=\left(1+\frac{1^{2}}{n^{2}}\right)^{1}\left(1+\frac{2^{2}}{n^{2}}\right)^{2} \ldots\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)^{n}$ है,तो $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(U_{n}\right)^{\frac{-4}{n^{2}}}$ का मान ज्ञात कीजिए: